Résumé :
Wang Hong, lauréat de la médaille Fields 2026, a remporté la plus haute distinction en mathématiques avec la preuve de la conjecture tridimensionnelle de l'ensemble de Kaketani. Ce problème géométrique qui a duré un siècle a réalisé entre ses mains un saut historique de deux dimensions à trois dimensions et est devenu la percée mathématique la plus importante de la dernière décennie.
Trois mois plus tard, OpenAI a fait un grand pas en avant dans cette recherche : elle a non seulement résolu la conjecture plus difficile de la fonction maximale de Kakeya en trois dimensions, mais a également prouvé pour la première fois que la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Kakeya en quatre dimensions est égale à 4, poussant le précédent meilleur record d'humains bloqués à 3,059 dimensions vers le haut d'une dimension, atteignant la limite supérieure théorique.
Cependant, ce n’est que la pointe de l’iceberg dans le défi lancé par OpenAI au monde mathématique.
Cette fois, OpenAI a publié 722 manuscrits mathématiques d'un seul coup, classés en 372 familles de résultats, couvrant des domaines bien au-delà du problème de Kakeya, y compris l'hypothèse quasi-Riemann, le dixième problème de Hilbert, les problèmes liés aux constantes catalanes et des dizaines d'autres problèmes classiques qui troublent la communauté universitaire depuis de nombreuses années. Tous les contenus sont issus d'un modèle interne qui n'a même pas été nommé. Chaque problème ne prend en moyenne que 3 heures.
OpenAI a publié ces manuscrits sur GitHub et, dans les 24 heures suivant leur mise en ligne, ils ont reçu 10 000 étoiles.
L'Association pour les mathématiques humaines a déclaré : "Les mathématiciens n'ont pas demandé à OpenAI de faire ce travail." Il a également déclaré que ces manuscrits manquaient de vérification et n’étaient qu’un autre « marketing à la performance » d’OpenAI.
Qu'est-ce que le manuscrit n°074 exactement ?
L'origine du problème de Kakeya est une question posée par le mathématicien japonais Soichi Kaketani en 1917 : supposons que vous ayez une fine aiguille, placez-la sur une surface plane et tournez-la dans un cercle (ou laissez-la pointer dans toutes les directions). Quelle est la plus petite surface que l’aiguille peut balayer ?
Intuitivement parlant, l'aiguille a une longueur, elle doit donc balayer un disque lorsqu'elle tourne une fois, n'est-ce pas ?
Ce n'est pas le cas. Plus tard, le mathématicien Besikovich a prouvé que tant que la méthode de rotation est suffisamment « intelligente », la zone balayée par l'aiguille peut être arbitrairement petite, même plus petite que n'importe quel nombre positif que vous spécifiez.
Sur cette base, les mathématiciens ont construit un ensemble avec une « zone nulle » qui contient toujours des segments de droite dans chaque direction. Ce type d'ensemble est appelé « ensemble Besicovitch » ou « ensemble Kaketani ».
Puisque la zone peut être aussi petite que 0, ce problème ne s'arrête-t-il pas ? Mais non.
Parce que « l'aire est nulle » signifie seulement que cet ensemble n'a pas d'épaisseur et ne prend pas de place, mais cela ne peut pas exprimer à quel point il est « complexe ».
L'aire mathématique d'une ligne et d'une boule de lignes peut toutes deux être égale à 0, mais évidemment les deux ne sont pas la même chose.
Les mathématiciens ont donc changé leur façon de penser. Bien que cet ensemble n’ait pas d’aire, est-il comme une ligne ou une surface, ou est-il plus proche d’un objet solide ? Il y a donc des « dimensions ».
Une ligne est unidimensionnelle, un morceau de papier est bidimensionnel et une boîte est tridimensionnelle. Mais pour certains ensembles particulièrement « clairsemés », la dimension peut même être une décimale, comme 2,5 dimensions.
La "dimension Hausdorff" est l'une des règles les plus couramment utilisées. Sa logique est d'utiliser de très petites boules pour couvrir un set. Combien de balles faut-il ? Si le rayon de la sphère est réduit de moitié et que le nombre de sphères requises est doublé, alors l'ensemble est unidimensionnel, comme une ligne ; s'il est quadruplé, il est bidimensionnel, comme un plan ; si c'est huit fois, c'est tridimensionnel, comme un corps solide. Entre les deux se trouve la dimension décimale.
Dans le plan bidimensionnel, les mathématiciens ont prouvé dès 1971 que tout ensemble contenant des segments de droite dans toutes les directions doit avoir une dimension de 2, même si son aire est de 0.
Qu'en est-il de l'espace tridimensionnel ? Et la quatrième dimension ? Qu’en est-il des dimensions supérieures ? Les mathématiciens devinent : dans un espace à n dimensions, tant qu'un ensemble contient des segments de ligne de longueur unitaire dans toutes les directions, sa dimension de Hausdorff doit être égale à n, même si son volume est 0. C'est la fameuse « conjecture de l'ensemble de Kakeya ».
En 2026, Wang Hong a remporté la médaille Fields. La raison officielle de ce prix était ses progrès significatifs dans le problème de la limite de Fourier et le problème tridimensionnel de Kakeya. La plus fondamentale et la plus connue d’entre elles est la conjecture tridimensionnelle des ensembles Kakeya mentionnée plus haut.
Les deux problèmes résolus par OpenAI cette fois-ci sont les « versions à puissance améliorée » de Wang Hong.
La première est la conjecture tridimensionnelle de la fonction maximale de Kakeya.
Le « maximum » dans le nom fait référence à la pratique consistant à « choisir la valeur maximale ».
Supposons qu'il y ait un brouillard de densité inégale dans l'espace. Prenez une fine paille et sucez-la dans différentes positions. La concentration moyenne du brouillard contenu dans la paille sera différente.
Essayez toutes les interpolations possibles dans cette direction, et n'enregistrez que celle avec la plus forte concentration. Cette « valeur la plus élevée » est la « valeur maximale » dans cette direction.
Changez à nouveau la direction, répétez la même chose et obtenez une autre "valeur la plus élevée". En collectant les valeurs les plus élevées dans toutes les directions, une relation correspondante entre « direction et valeur la plus élevée » est obtenue. Les mathématiciens l'appellent la « fonction maximale de Kakeya ».
La seconde est la conjecture de la dimension de Hausdorff à quatre dimensions, c'est-à-dire le déplacement de la conclusion précédente de trois dimensions à quatre dimensions.
La dimension de Kakeya situé dans un espace à quatre dimensions doit être de 4. Le meilleur résultat actuel des humains en quatre dimensions est de 3,059 obtenu à l'aide de la démonstration "planebrush" en 2021. En d'autres termes, il peut seulement être prouvé qu'il s'agit d'au moins 3,059 dimensions. De 3,059 à 4, cela équivaut à une augmentation directe dans une dimension.
Du bidimensionnel au tridimensionnel, la difficulté du problème est presque un « changement qualitatif » ; du tridimensionnel au quadridimensionnel, c'est aussi un changement qualitatif. Parce que plus la dimensionnalité est élevée, plus ces « tubes » peuvent se croiser et s'empiler de différentes manières, et plus les situations géométriques que les mathématiciens doivent gérer sont complexes.
Par conséquent, si les mathématiciens devaient réaliser eux-mêmes ces deux conjectures, cela prendrait au moins plusieurs années.
Cependant, selon la propre déclaration d'OpenAI, l'ensemble du processus est assez « simple ».
Utilisez un modèle interne inédit et un mot d'invite, et laissez un agent l'exécuter. En moyenne, chaque résultat ne consomme qu'environ 3 heures de puissance de réflexion de ChatGPT Pro.
Pendant tout le processus d'évaluation, environ 4 000 questions ont été ajoutées au modèle. Après fusion et sélection, les 722 manuscrits actuels ont été conservés.
OpenAI surpasse la médaille Fields ?
Si les pailles ne sont pas beaucoup empilées, alors la surface totale qu'elles occuperont sera naturellement insignifiante. Par conséquent, une fois la conjecture de la fonction maximale établie, la version définie de la conjecture peut être directement dérivée.
Par conséquent, certains internautes ont déclaré qu'il n'avait fallu que trois heures à l'IA pour surpasser la médaille Fields. Cependant, il s’agit en réalité d’une sorte de préjugé. Non seulement il méprise la médaille Fields, mais il ne comprend pas non plus les résultats des recherches de Wang Hong.
Parce que l’argumentation d’OpenAI ne part pas de zéro. La famille de résultats n° 074 indiquait clairement qu'elle était basée sur les résultats de recherche de Wang Hong et qu'elle n'était pas dérivée de rien.
Ceci est également conforme aux normes de la recherche mathématique. Presque toutes les avancées majeures de l'histoire de l'humanité reposent sur les épaules de ses prédécesseurs, et la preuve de Wang Hong elle-même est également basée sur ses travaux antérieurs sur les « ensembles Kakeya collants » et sur les résultats de nombreux mathématiciens au cours des trente dernières années.
Ce qui est encore plus une coïncidence, c'est que dès mars 2025, le mathématicien du MIT Larry Guth a prédit dans une interview que passer de deux dimensions à trois dimensions est l'étape la plus difficile, et que la preuve de Wang Hong est susceptible d'être transformée et utilisée pour des problèmes de dimension supérieure.
Donc, si la conclusion quadridimensionnelle d’OpenAI est vraie, dans un sens, elle valide également le jugement du mathématicien de l’époque.
Comment devrions-nous comprendre l'expression « plus que la médaille Fields » ?
Tout d'abord, la médaille Fields récompense un mathématicien pour sa contribution globale, et pas seulement pour un seul article. C’est juste que dans la médaille Fields décernée à Wang Hong, la conjecture tridimensionnelle de Kaketani est en effet le résultat principal.
Deuxièmement, si le manuscrit n° 074 d'OpenAI est effectivement vrai, alors en termes de « difficulté » mathématique à dimension unique, il est en effet plus difficile que la question pour laquelle Wang Hong a remporté le prix : parce que la version tridimensionnelle de la fonction maximale contient la version définie, et que le problème de la dimension Hausdorff à quatre dimensions est un objectif supplémentaire de l'humanité après les trois dimensions qui n'a jamais été résolu auparavant.
Mais il y a un mot clé dans cette phrase, c'est "si".
Le manuscrit n° 074 ne contient actuellement aucune preuve formelle de Lean et n'a pas été évalué par des pairs. Jusqu'à ce qu'il soit vérifié, il s'agit simplement d'un « article prétendant résoudre un problème plus difficile » plutôt que d'un « problème plus difficile qui a été prouvé ». Dans l’histoire des mathématiques, de nombreuses « preuves » ont été annoncées puis retirées.
À l'heure actuelle, nous restons bloqués sur le mot « si ».
La médaille Fields de Wang Hong, après des mois de tests et d'examen par l'ensemble de la communauté universitaire, est désormais devenue la pierre angulaire de ce domaine. Que le manuscrit OpenAI soit finalement établi ou non, son point de départ est indissociable de cette pierre angulaire.
La vérification est la plus difficile
La vraie difficulté est la vérification. Le processus de vérification des mathématiques est l’un des aspects les plus exigeants en main-d’œuvre de l’ensemble de la recherche mathématique.
Prenons Wang Hong comme exemple.
En février 2025, elle a publié la preuve de la conjecture tridimensionnelle de Kakeya sur le site Web de prépublication universitaire arXiv, qui fait environ 127 pages.
Une fois le document publié, il n'est pas immédiatement reconnu comme « correct ». L’article a fait l’objet d’un auto-examen répété de la part de l’auteur et d’une analyse approfondie par des universitaires de renom tels que Terence Tao. Le magazine Quanta l'a qualifié de preuve "une fois par siècle".
Le travail de vérification a duré de février 2025 jusqu'à l'annonce de la médaille Fields en juillet 2026, ce qui a duré près d'un an et demi. Même aujourd’hui, de nombreux mathématiciens n’ont pas pleinement absorbé ni digéré les nouvelles idées contenues dans cet ensemble de preuves.
Cela signifie qu'une preuve de plus de 100 pages écrite par un mathématicien humain de renom devra faire l'objet d'une révision collective pendant plus d'un an avant d'être largement reconnue.
Maintenant, 722 articles ont été publiés en même temps.
De plus, bon nombre des 722 manuscrits publiés par OpenAI sont de longs arguments de plusieurs centaines de pages. Si chaque article nécessite la lecture d’un expert pendant plusieurs mois, il se peut qu’il n’y ait que quelques dizaines d’experts dans le monde capables de comprendre un des articles, voire moins.
De plus, ces experts ont chacun leurs propres recherches, et il est impossible de mettre tout le travail à accomplir pour « agir en tant que réviseur » pour OpenAI.
Ce qui est plus troublant, c'est qu'un porte-parole d'OpenAI a admis que bon nombre de ces résultats ne sont pas entièrement compris par les mathématiciens d'OpenAI, y compris le manuscrit n° 074 mentionné ci-dessus.
Les réactions de la communauté mathématique sont donc plus sceptiques.
Ce genre d’inquiétude n’est pas nouveau aujourd’hui.
Le 8 septembre 2026, OpenAI a annoncé que son modèle interne avait résolu le problème du millénaire de l'équation de Navier-Stokes. On a dit qu'environ 10 000 agents étaient utilisés pour des calculs parallèles.
Cependant, le mathématicien de l'Université Brown, Gómez-Serrano, a mentionné lors d'une conférence à Harvard que la preuve pertinente de 166 pages est « incompréhensible ».
Le 11 septembre, 25 lauréats de la médaille Fields (dont Terence Teru et d'autres) ont publié conjointement une déclaration publique intitulée « Le grave écart de l'intelligence artificielle en mathématiques », critiquant les sociétés d'IA pour avoir utilisé « surmonter des problèmes célèbres » comme outil de marketing pour démontrer les capacités des modèles et les publier à la hâte. Non seulement cela n’a pas favorisé le développement des mathématiques, mais cela a également eu un impact négatif sur la communauté mathématique.
Le 21 septembre, OpenAI a annoncé la création d'un groupe consultatif indépendant composé de mathématiciens (AGMAI, situé à l'Institute for Advanced Study de Princeton). Le 29 septembre, le groupe consultatif a déclaré que lors de la publication des résultats mathématiques générés par l'IA, il divulguerait également le modèle utilisé, les mots d'invite spécifiques et le temps de calcul.
Mais parmi les 722 manuscrits publiés cette fois par OpenAI, seuls des chiffres globaux tels que le « temps de calcul moyen » ont été annoncés. Aucun mot d'invite n'a été annoncé et aucun modèle n'a été divulgué.
Andrew Sutherland, mathématicien du MIT, a déclaré : "À moins qu'ils ne publient le modèle afin que tout le monde puisse le reproduire, l'idée selon laquelle un seul agent peut résoudre le problème avec une seule invite devrait être considérée comme non prouvée. Nous devrions exiger de voir le 'reçu'."
L'implication est que ces 722 manuscrits sont tous des « fausses nouvelles ».
Le 7 octobre, l'Association des sciences humaines et mathématiques mentionnée au début a estimé que "la publication de plus de 700 documents en une seule fois montre non pas des universitaires, mais une sorte de pouvoir". Par la suite, l’association a appelé les mathématiciens à cesser de collaborer avec OpenAI.
Bien sûr, il y a une autre voix. "Si nous voulons connaître les réponses à ces problèmes mathématiques, je ne vois aucune raison de demander aux entreprises de les cacher... C'est une bonne chose pour les mathématiques", a déclaré Daniel Litt, de l'Université de Toronto.
Les mathématiciens ne peuvent pas vérifier ces 722 manuscrits en peu de temps, ils espèrent donc les vérifier via Lean.
Lean est un « assistant de preuve » et un langage de programmation. Les mathématiciens doivent traduire chaque étape de la preuve dans un langage strict que Lean peut comprendre. Le système Lean le vérifie ensuite étape par étape. Tant qu’une étape est ambiguë ou ignorée, elle échouera. Une fois réussie, la preuve est presque certainement logiquement sans erreur.
Selon le catalogue public, sur les 372 familles de résultats fusionnées dans 722 manuscrits, 235 ont des descriptions formelles Lean, soit environ 63 %.
Mais Lean n’est pas omnipotent. Le mathématicien Gil Kalai a déclaré qu'il pourrait également y avoir des problèmes avec la vérification de Lean. Par exemple, lors de la traduction d’un problème mathématique en langage Lean, s’il y a un écart dans la traduction elle-même et que la vérification automatique réussit, il se peut qu’il ne s’agisse pas du problème d’origine. De plus, Lean ne peut que confirmer qu'il est « logiquement déraisonnable », mais ne peut pas juger si le résultat est nouveau ou précieux.
Par conséquent, le manuscrit n°074, qui n'est pas formalisé par Lean, ne peut être vérifié que par des mathématiciens.
Si le manuscrit n° 074 s'avère finalement exact, il doit s'agir d'un événement marquant dans l'histoire des mathématiques.
Il a fallu plus de 100 ans pour faire passer le problème Kakeya à trois dimensions, mais l'IA a fait plusieurs pas en avant en seulement trois heures.
De la même manière, on découvrira peut-être à la fin que le manuscrit n° 074 est en réalité faux.
En dernière analyse, une « preuve » que les humains ne peuvent pas vérifier dans un court laps de temps devrait-elle être qualifiée de preuve ? C’est là le véritable casse-tête laissé à la communauté mathématique.
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